MA TRẬN KHẢ NGHỊCH LÀ GÌ

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng rẽ và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được Gọi là ma trận đơn vị chức năng trường hợp A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta nhận thấy ma trận trên là sống thọ. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cấp n

Hình như, ma trận đơn vị chức năng là nhất. Thật vậy, giả sử tất cả nhị ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị đề nghị I.I’ = I’.I = I’

cùng I’ là ma trận đơn vị đề xuất I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong ma trận vuông cung cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, ví như lâu dài một ma trận B vuông cấp cho n trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc kia, B được Call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.Bạn sẽ xem: Ma trận nghịch hòn đảo 4x4

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là nhất, vị đưa sử trường tồn ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây chừ, có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến tư tưởng khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Ma trận khả nghịch là gì

Thật vậy, đến A là ma trận cấp m x n trên ngôi trường số K. Lúc kia, ta bảo A là khả nghịch trái nếu lâu dài ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu trường tồn ma trận R cấp cho n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, tất nhiên A khả nghịch trường hợp A khả nghịch trái cùng khả nghịch nên.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

5. Tập đúng theo những ma trận vuông cấp cho n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

Xem thêm: Tư Vấn: Người Bị Nhiễm Virus Viêm Gan B Là Gì ? Cách Phòng Tránh Bệnh Hiệu Quả

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch vì với tất cả ma trận vuông cấp 2 ta hầu hết có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(quý khách hàng hãy thừ chứng tỏ kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ nam nữ giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2) được Gọi là ma trận sơ cấp cho dòng (cột) trường hợp E nhận được từ bỏ ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phxay biến hóa sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng giỏi cột gọi tầm thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cho chiếc (hay cột) đông đảo khả nghịch với nghịch hòn đảo của nó lại là một trong ma trận sơ cấp cho cái.

Ta hoàn toàn có thể chất vấn thẳng hiệu quả bên trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 chiếc của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp dạng 2


Ma trận sơ cấp cho dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). khi đó, những xác minh sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra tự A bởi một số trong những hữu hạn những phxay đổi khác sơ cấp cho chiếc (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn các ma trận sơ cấp

(quý khách hàng gọi hoàn toàn có thể coi chứng tỏ định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). lúc kia, những khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch Lúc và chỉ còn lúc dạng thiết yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận từ bỏ A vày một vài hữu hạn các phnghiền đổi khác sơ cung cấp chiếc (cột); bên cạnh đó, chủ yếu dãy các phnghiền biến đổi sơ cấp cho chiếc (cột) đó sẽ thay đổi In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật tân oán Gausβ – Jordan kiếm tìm ma trận nghịch đảo bằng phxay thay đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để kiếm tìm nghịch hòn đảo (ví như có)của ma trận A vuông cấp n bên trên K. Thuật toán này được thành lập dựa vào hiệu quả thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị chức năng cung cấp n I vào mặt buộc phải ma trận A


Lập ma trận chi khối cung cấp n x 2n

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, vào quá trình đổi khác giả dụ A’ xuất hiện thêm tối thiểu 1 cái ko thì chớp nhoáng Tóm lại A ko khả nghịch (không cần phải gửi A’ về dạng bao gồm tắc) với xong thuật toán thù.

lấy một ví dụ minh họa: Sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan nhằm search ma trận nghịch đảo của:

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *