” Cumulative Distribution Function Là Gì : Xác Suất Là Gì? Phân Bố Xác Suất

Các vấn đề cơ bản cần chú ý khi học Reading 9 trong chương trình CFA level 1

1. Một số khái niệm cơ bản

1.1. Hai loại biến ngẫu nhiênBiến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable): biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó (outcomes) tạo thành một tập hợp hữu hạn đếm được.

Đang xem: Cumulative distribution function là gì

Ví dụ: số ngày mưa trong một tháng nhất định.Biến ngẫu nhiên liên tục (continuous random variable): biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó (outcomes) tạo thành một tập hợp vô hạn không đếm được.Ví dụ: lợi nhuận của một danh mục đầu tư do nó có thể nhận bất kỳ giá trị số thực nào.1.2. Phân phối xác suất

Phân phối xác suất (Probability distribution) cho biết xác suất xảy ra của tất cả các giá trị có thể có (outcomes) của một phép thử.

1.3. Hàm xác suất và hàm phân phối

2. Biến ngẫu nhiên rời rạc

2.1. Phân phối đều rời rạc

Biến ngẫu nhiên phân phối đều rời rạc (Discrete uniform random variable) là biến ngẫu nhiên rời rạc mà xác suất nhận bất kỳ giá trị nào đều bằng nhau.

Ví dụ: p(1) = p(2) = p(3) = … = p(n)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đều rời rạc là phân phối đều rời rạc (discrete uniform distribution).

Ví dụ: Hàm phân phối xác suất và hàm phân phối tích lũy của một biến ngẫu nhiên đều rời rạc: Cho biến X với 04 outcomes lần lượt là 1, 2, 3, 4 với xác suất bằng nhau và đều bằng 0.25:

2.2. Phân phối nhị thức (Binomial distribution)

2.2.1. Phép thử Bernoulli và biến ngẫu nhiên Bernoulli

Phép thử Bernoulli (Bernoulli trial) là phép thử ngẫu nhiên mà chỉ xảy ra một trong hai kết quả thành công hoặc thất bại, trong đó xác suất thành công là bằng nhau cho mỗi lần thử và bằng p.

2.2.2. Biến ngẫu nhiên nhị thức

Biến ngẫu nhiên nhị thức (Binomial random variable) chỉ số lần thành công trong n phép thử Bernoulli.

Giả định (1) xác suất thành công p không đổi với mọi phép thử và (2) n phép thử độc lập với nhau, X sẽ tuân theo phân phối Bernoulli với hai tham số, n và p: X ∼ B(n,p)

Khi đó:

3. Biến ngẫu nhiên liên tục

3.1. Phân phối đều liên tục

Phân phối đều liên tục (Continuous uniform distribution) là phân phối được xác định trên một phạm vi nhất định, được giới hạn hởi hai giá trị là a và b, trong đó a

Xác suất để biến nhận giá trị trong khoảng (x1,x2) (với (x1,x2) thuộc (a,b) là:

3.2. Phân phối chuẩn

3.2.1. Đặc điểm của phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn (Normal distribution) xác định bởi hai tham số: giá trị trung bình µ và phương sai , ta có . Khi đó có thể phát biểu rằng “X phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ và phương sai “.Phân phối chuẩn có độ lệch bằng 0 (đối xứng), độ nhọn bằng 3 và có hình chuông.Phân phối chuẩn đối xứng qua giá trị trung bình , do đó giá trị trung bình = số trung vị = số yếu vị (mean = median = mode).Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn cũng tuân theo phân phối chuẩn. (ví dụ: x và y phân phối chuẩn, thì 2x + 3y cũng tuân theo phân phối chuẩn).Các giá trị có thể nhận được của X là toàn bộ giá trị trên trục số thực, hay – ∞

Phần đuôi của phân phối chuẩn dần tiệm cận 0 và kéo dài vô hạn về hai phía nhưng không bao giờ nhận giá trị 0, nghĩa là X nhận giá trị càng xa giá trị trung bình thì xác suất càng nhỏ nhưng không bao giờ bằng 0.

Xem thêm: Every Day Là Thì Gì – Cấu Trúc Và Cách Dùng Các Thì Trong Tiếng Anh

3.3. Phân phối chuẩn tắc

Phân phối chuẩn tắc (standard normal distribution) hay phân phối chuẩn đơn vị (unit normal distribution) là phân phối chuẩn có µ = 0 và σ = 1.

Công thức chuẩn hóa biến ngẫu nhiên:

Ứng dụng: Dùng bảng z-table để tìm xác suất P(X ≤ x)

3.4. Ứng dụng của phân phối chuẩn

Quy tắc an toàn là trên hết (Safety-first rule) tập trung vào rủi ro thâm hụt (shortfall risk) – xác suất mà giá trị hay lợi nhuận của một danh mục đầu tư giảm xuống dưới một mức giá trị hay lợi nhuận mục tiêu cụ thể – target value – trong một khoảng thời gian xác định.

Tiêu chí an toàn là trên hết của Roy (Roy’s safety-first criterion): danh mục đầu tư tối ưu là danh mục tối thiểu hóa xác suất mà lợi nhuận của danh mục – giảm xuống dưới mức ngưỡng (threshold level) – (mức thấp nhất có thể chấp nhận được). Danh mục đầu tư tối ưu là danh mục có giá trị SFRatio lớn nhất, với SFRatio được tính bởi công thức:

Ví dụ: Danh mục đầu tư nào dưới đây có SFRatio tối ưu nếu mức lợi nhuận thấp nhất có thể chấp nhận được là 6%.

Giải:

Theo tiêu chí an toàn là trên hết của Roy, danh mục 2 là danh mục đầu tư tối ưu do có SFRatio lớn nhất (1.67 > 1.50 > 1.40).

3.5. Phân phối loga chuẩn

Hàm phân phối lognormal được tạo ra từ hàm e^x, trong đó x phân phối chuẩn. Vì logarit tự nhiên của e^x bằng x, nên ta có logarit của các biến phân phối loga chuẩn đều tuân theo phân phối chuẩn.

Phân phối loga chuẩn có độ lệch lớn hơn 0 (skewed to the right) và có giới hạn dưới tại điểm 0. Do đó, phân phối loga chuẩn được ứng dụng để xây dựng mô hình giá của tài sản vì giá luôn nhận giá trị không âm.

Ứng dụng:

4. Phương pháp giả lập Monte Carlo và giả lập dựa trên dữ liệu quá khứ

Author: Thanh Thủy