Giới thiệu
Covariance (Hiệp phương sai) và Correlation (Hệ số tương quan) là hai khái niệm trong lĩnh vực xác suất thống kê. Cả hai khái niệm này đều nói về mối quan hệ giữa hai biến với nhau, hay nói cách khác hai chỉ số này dùng để thể hiện sự phụ thuộc giữa hai biến.
Đang xem: Hiệp phương sai là gì
Covariance là gì?
Covariance thể hiện mối quan hệ giữa hai biến với nhau, có thể là đồng biến (positive covariance) hoặc nghịch biến (negative covariance).
Định nghĩa : Cho 2 biến ngẫu nhiên X, Y với kì vọng mu_{X} và mu_{Y} covariance của X, Y được tính bằng công thức :
Cov(X,Y) = E((X – mu_X )(Y – mu_Y))
Các tính chất của Covariance :
Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X,Y) với a, b, c, d cho trướcCov(X_1 + X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)Cov(X, X) = Var(X)Cov(X, Y) = E(XY) – mu_Xmu_YVar(X, Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)Nếu X, Y độc lập thì Cov(X, Y) = 0.
Lưu ý :
Từ 3 và 4 ta có Var(X) = E(X^2) – mu^2_x. Nếu X, Y độc lập từ 5 có thể suy ra được Var(X, Y) = Var(X) + Var(Y).Với 6, điều ngược lại không đúng, nghĩa là Cov(X, Y) = 0 không có nghĩa là X, Y độc lập với nhau. Ví dụ X = <-2 , -1 , 1 , 2> và Y = X^2 = <4 , 1, 1 , 4> khi đó Cov(X, Y) = 0
Correlation là gì?
Để thể hiện mối quan hệ giữa 2 biến là “mạnh” hay “yếu”, chúng ta sử dụng correlation thay cho covariance.
Xem thêm: Định Nghĩa Về Tính Trừu Tượng Là Gì ? Tính Trừu Tượng Là Gì
Định nghĩa : Correlation coefficient của hai biến X và Y được tính theo công thức
Cor(X, Y) =
ho = frac{Cov(X, Y)}{sigma_Xsigma_Y}
Các tính chất của Corelation :
Correlation là Covariance được chuẩn hóa của hai biến X, YCorrelation thể hiện một tỉ lệ, do đó nó không có đơn vị đo-1 leq
ho leq 1
ho = -1 khi và chỉ khi Y = aX + b và a và
ho = 1 khi và chỉ khi Y = aX + b và a > 0
Chứng minh tính chất 3 :
0 leq Var(frac{X}{sigma_X} – frac{Y}{sigma_Y}) = Var(frac{X}{sigma_X}) + Var(frac{Y}{sigma_Y}) – 2Cov(frac{X}{sigma_X}, frac{Y}{sigma_Y}) = 2 – 2
ho Rightarrow
ho leq 1.
Tương tự 0 leq Var(frac{X}{sigma_X} + frac{Y}{sigma_Y}) Rightarrow
ho geqslant -1
Biểu diễn mối quan hệ X, và Y với giá trị rho (correlation)
So sánh giữa covariance và correlation
Cả covariance và correlation đều thể hiện mối quan hệ giữa hai biến.Covariance có range từ -infty đến +infty . Correlation nằm trong khoảng từ – 1 đến 1.Covariance thể hiện mối quan hệ giữa hai biến, correlation thể hiện được mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều biến.
Ví dụ
Tập dữ liệu view của 2 kênh truyền hình tại 1 thời điểm (20h – 21h thứ năm mỗi tuần) trong 1 tháng là
X = (50772, 73756, 74251, 77601)Y = (102492, 100406, 97762, 98191)
Ta tiến hành tính các thông số cơ bản
Mean_X = (50772 + 73756 + 74251 + 77601)/ 4 = 69095.00Mean Y = 99712.75std_X^2 = ((50772 – Mean_X)^2 +(73756 – Mean_X)^2 +… ) / 4 = 114098405.5 => std_X = 10681.69std_Y = 1892.48
Từ đó ta tính covariance và correlation
Cov(X, Y) = ((50772 – 69095.00) * (102492 – 99712.75) + (73756 – 69095.00) * (100406 – 99712.75) + …) / 4 = -17673758.0Corr (X,Y ) = Cov(X, Y) / (std_X * std_Y) = -17673758.0 / ( 10681.69 * 1892.48) = -0.87